С наклонной плоскости, составляющей угол a=30° с горизонтом, скатывается без скольжения шарик. Пренебрегая трением, определите время движения шарика по наклонной плоскости, если известно, что его центр масс при скатывании понизился на h=30 см

Здесь изложено уже исправленное решение с учетом замечаний в комментариях.

Потенциальная энергия шара равна суме кинетических энергий поступательного движения и вращательного движения шара в конце спуска:

$mgh=\frac{mv^2}{2}+\frac{Jw^2}{2}$                 (1)

где m -масса, h - высота, v - скорость поступательного движения, J - момент инерции шара,
w - угловая скорость вращательного движения

$J=\frac{2mr^2}{5}$          $w=\frac{v}{r}$

Тогда (1) приобретает вид:

$mgh\frac{mv^2}{2}+\frac{mv^2}{5}=0,7mv^2$              (2)

Из (2):                          $v=\sqrt{\frac{gh}{0,7}}$                (3)

Путь S при равноускоренном движении можно выразить формулой:

$S=\frac{v^2-v_0^2}{2a}$                (4),

  где  v, vo - соответственно конечная и начальная скорость, а - ускорение.

В нашем случае vo=0  Из (4) найдем а:

$a=\frac{v^2}{2S}$            (5)                       $S=\frac{h}{\sin\alpha}$              (6)

C учетом (3) и (6)  выражение (5) выглядит:

      $a=\frac{gh\sin\alpha}{0,7*2h}=\frac{g\sin\alpha}{1,4}$   

Путь при равноускоренном движении через ускорение выражается так:

$S=\frac{at^2}{2}$        (7)             Откуда 

$t=\sqrt{\frac{2S}{a}}=\sqrt{\frac{2h*1,4}{\sin\alpha*g\sin\alpha}}=\sqrt{\frac{2,8h}{g\sin^2\alpha}}$

$t=\sqrt{\frac{2,8*0,3}{10*0,5^2}}=0,58\;c$