Вращение происходит по закону φ(t)=7+20t+2t^2 . Определить среднее значение угловой скорости за время от начала движения маховика до остановки и величину действующего на маховик момента сил . Момент инерции маховика равен 200 кг*м^2

В условии задачи, похоже, допущена ошибка.  При такой формуле маховик не тормозится, а раскручивается (ускоряется). Перед 2t^2 должен быть минус. Ну да ладно. Предположим он там таки есть.

В общем виде уравнение зависимости угла поворота $\phi$ от времени t для вращения с постоянным угловым ускорением $\varepsilon$ и начальной угловой скоростью $w_0$ записывается в виде

φ(t) = φ₀ + ω₀t + εt²/2           (1)

где $\phi_0$  - начальный угол поворота в момент начала отсчета времени. 

Сравнив (1) с условием, приходим к выводу:

 $w_0=20\;\text{рад/с}$            $\varepsilon=-4\;\text{рад/с}^2$ 

Угловая скорость во времени изменяется по закону  $w(t)=w_0+\varepsilon t$.   В момент остановки она будет равна нулю 

$w_0+\varepsilon t=0$                 $20-4t=0$               $t=5$ c

С учетом (1) за время  до остановки t=5 секунд угол поворота составит 

$\phi=\phi(t=5)-\phi(t=0)=(7+20*5+\frac{-4*5^2}{2})-(7+20*0+\frac{-4*0^2}{2})=50\;\text{рад}$

Средняя угловая скорость  $w_{cp}=\frac{\phi}{t}=\frac{50}{5}=10\;\text{рад/с}$

$M=J\varepsilon$

$M=J\varepsilon=200*4=800\;\text{Н*м}$