Футболист на тренировке бьёт мячом в стену находящуюся от него на расстоянии 5 м. После упругого удара о стену мяч летит обратно, причем наивысшая точка его траектории проходит над головой футболиста. Начальная скорость мяча 20 м/с. Найдите угол между начальной скоростью мяча и горизонтом (а=76 градусов)

Траектория мяча представляет собой траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту, что представляет собой параболу.  Движение мяча состоит из движения по горизонтали и по вертикали.  В момент удара о стенку скорость вертикальная не меняется, скорость горизонтальная меняет направление на противоположное. Траектория мяча после удара о стенку будет зеркальным отражением траектории в случае, если бы стенки не было. Вот этим и воспользуемся.

Как известно, уравнение, описывающее координаты движения  тела, брошенного под углом к горизонту (как мы уже заметили - параболы), имеет вид:

$y=x*tg\alpha-\frac{gx^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}$             (1)

По условию задачи, пролетев расстояние по горизонтали равное 2L, мяч достигает максимальной высоты. Это значит, что вертикальная скорость в этой точке равна нулю. 

А теперь вспомним, что первая производная от функции и есть скорость изменения функции.  Стало быть, если взять первую производную от (1) мы найдем скорость изменения координаты y,  а это и есть вертикальная скорость!

Производная от (1) по х:

$y'=tg\alpha-\frac{2gx}{2v_0^2\cos^2\alpha}$                    (2)

Как мы уже говорили, в точке х=2L  вертикальная скорость, она же первая производная, она же (2) обращается в нуль.  Имеем:

$tg\alpha-\frac{2gx}{2v_0^2\cos^2\alpha}=0$

$v_0^2\cos^2\alpha*tg\alpha-2gL=0$

$v_0^2\cos^2\alpha*\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-2gL=0$

$v_0^2\sin\alpha\cos\alpha-2gL=0$  

$\sin\alpha\cos\alpha=\frac{\sin 2\alpha}{2}$

$\frac{v_0^2\sin 2\alpha}{2}=2gL$

$\alpha=\frac{\arcsin{\frac{4gL}{v_0^2}}}{2}=\frac{\arcsin{\frac{4*10*5}{20^2}}}{2}=15^{\circ}$

 Однако, надо принять во внимание тот факт, что и синус 30 градусов равен 0,5  (т.е. выражению под арксинусом в скобках), и синус 150 градусов тоже равен 0,5.   В первом случае искомый угол получается 15 градусов,  а во втором 75.  Так какой же их них правильный?  Может оба?

А проверить мы их сможем, используя формулу для нахождения максимальной высоты подъема тела, брошенного под углом.

$h_{max}=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$

Подставив сюда данные, находим высоту: для угла 15 градусов - 1,34 метра, а для угла 75 градусов - 18,65 метра.  Вспомним, что в условии задачи сказано, что мяч пролетел над головой футболиста. Если футболист взрослый, то угол 75 градусов, а если малыш, то угол 15 градусов