Небольшое тело пустили снизу вверх вдоль наклонной плоскости, составляющей угол $\phi$ с горизонтом и имеющей высоту h. Начальная скорость тела v0. Найти скорость тела в высшей точке его траектории после отрыва от плоскости. Коэффициент трения скольжения $\mu$.

Небольшое тело пустили снизу вверх вдоль наклонной плоскости, составляющей угол $\phi$ с горизонтом и имеющей высоту h. Начальная скорость тела v0. Найти скорость тела в высшей точке его траектории после отрыва от плоскости. Коэффициент трения скольжения $\mu$.

Проанализируем задачу.  Требуется найти скорость   в высшей точке его траектории после отрыва от плоскости. После отрыва от плоскости движение тела будет представлять собой движение тела, брошенного с определенной начальной скоростью под углом к горизонту. Известно, что такое движение представляет собой сумму движения по горизонтали и по вертикали, то есть вектор мгновенной скорости равен сумме векторов горизонтальной и вертикальной скорости. В точке наивысшего подъема вертикальная скорость равна нулю. Тогда в этой точке мгновенная скорость (а именно ее нам надо найти) равна горизонтальной скорости.  По условию задачи  (оно не очень корректно)  надо полагать, что сопротивлением воздуха можно пренебречь, тогда с момента отрыва от плоскости горизонтальная скорость не меняется. Значит, если найдем значение горизонтальной составляющей скорости в момент отрыва, то и получим ответ на вопрос задачи.

 Воспользуемся законом сохранения энергии. 
Начальная кинетическая энергия тела к моменту отрыва распределится на:
- приращение потенциальной энергии -  mgh;
- выполнение работы по преодолению силы трения - A;
- остаточную кинетическую энергию   $\frac{mv^2}{2}$.

Все это можно выразить формулой:       

 $\frac{mv_0^2}{2}=mgh+A+\frac{mv^2}{2}$            (1)

Работа по преодолению сил трения выражается произведением силы трения на путь.
Сила трения равна произведению силы реакции опоры на коэффициент трения.

$F=\mu N=\mu mg\cos{\phi}$
  

Тогда  работа по преодолению сил трения: 

$A=FS=\mu mg\cos{\phi}*S$             (2)

Путь S можно выразить, исходя из условия задачи:

$S=\frac{h}{\sin{\phi}}$              (3)

Тогда с учетом (2) и (3) выражение (1) можно записать так:

$\frac{mv_0^2}{2}=\frac{mv^2}{2}+mgh+\frac{\mu mgh\cos{\phi}}{\sin{\phi}}$

$v_0^2=v^2+2gh+2\mu gh*ctg{\phi}$
  
Откуда получаем:           $v=\sqrt{v_0^2-2gh-2\mu gh*ctg{\phi}}$

Анализирую ответ и он мне не нравится: что-то не то. Смущает котангенс фи. Похоже где-то ошибся. Приглашаю к обсуждению. Прошу высказываться в отзывах. Спасибо

Ладно, попробуем подойти иначе.

 Итак, имеем равноускоренное движение под воздействием равнодействующей трех сил (см. рисунок ниже):

- силы земного притяжения mg;
- силы трения Fтр;
- силы реакции опоры N.
В любой момент времени скорость при равноускоренном движении определяется зависимостью:

$v=\sqrt{v_0^2+2aS}$                  (4)

где Vo - начальная скорость, a- ускорение, S - пройденный путь. 

Путь легко находится, так как задана высота h и угол:         $S=\frac{h}{\sin{\phi}}$           (5

Для того, чтобы найти результирующее ускорение а попробуем использовать самый универсальный подход с разложением сил по координатам и составлением системы уравнений. Поместим начало прямоугольной системы координат в центр тела. Ось ОХ направим параллельно плоскости скольжения, ось ОY - перпендикулярно.
На тело, движущееся с ускорением распространяется второй закон Ньютона: F=ma.
Составим систему уравнений из проекций сил на каждую из осей:
Проекция mg, Fтр и N на ось ОХ соответственно равна:

$ma_x=-mg\sin{\phi}-\mu mg\cos{\phi}+0$           (6)

Проекция тех же сил на ось OY:

$ma_y=-mg\cos{\phi}+0+N$            (7)

$N=mg\cos{\phi}$               (8)

По нашей оси OY тело не перемещается.  C учетом этого и (8)  выражение (7) приобретает потрясающий вид:    0 = 0
Таким образом, результирующее ускорение равно ускорению по оси ОХ.
Чтобы выразить его поделим  (6) на m:

$a=-g\sin{\phi}-\mu g\cos{\phi}=-g(\sin{\phi}+\mu\cos{\phi})$            (9)

Осталось подставить (5) и (9) в формулу (4):

$v=\sqrt{v_0^2-2g((\sin{\phi}+\mu\cos{\phi})*\frac{h}{\sin{\phi}}}=\sqrt{v_0^2-2gh-2\mu gh*ctg{\phi}}$

Однако, надо признать, что ответ такой же, как выше. Наверное, все же правильный.