Спираль нагревательного элемента сопротивлением 12 Ом подключена к источнику тока с внутренним сопротивлением 4 Ом. Какое сопротивление следует подключить параллельно спирали, чтобы мощность, потребляемая ею, уменьшилась в 4 раза?

Электрическая мощность определяется формулой:

$P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R}$

Общая мощность, потребляемая источника тока состоит из мощности на внутреннем сопротивлении источника и мощности на нагрузке т.е. спирали:

$P=P_0+P_H$

Мощность в спирали до подключения:

$P_{co}=\frac{U_{co}^2}{R_c}=\frac{(E-I_{co}Ro)^2}{R_c}$
  
где Uco - напряжение на спирали, Rc - сопротивление спирали, Е - ЭДС источника, Ico - ток спирали до подключения дополнительного сопротивления, Ro - внутреннее сопротивление источника, Rc - сопротивление спирали.

$I_{co}=\frac{E}{R_0+R_c}$

$P_{co}=\frac{(E-\frac{ER_0}{R_0+R_c})^2}{R_c}$

Мощность в спирали после подключения параллельного резистора:

$P_{c1}=\frac{(E-\frac{ER_0}{R_0+\frac{R_xR_c}{R_x+R_c}})^2}{R_c}$

Отношение мощностей по условию задачи равно 4:

$\frac{P_{co}}{P_{c1}}=\frac{\frac{(E-\frac{ER_0}{R_0+R_c})^2}{R_c}}{\frac{(E-\frac{ER_0}{R_0+\frac{R_xR_0}{R_x+R_0}})^2}{R_c}}=4$

                  

Откуда после несложных арифметических преобразований находим Rx

$R_x=\frac{R_0R_c(2R_0+R_c)}{2R_0R_c(R_0+R_c)-(R_0+R_c)(2R_0+R_c)}$