Имеются две бухты проволоки, изготовленной из одного и того же металла. Масса первой бухты равна m, второй — 2m. Найти отношение сопротивлений проволок из первой и второй бухт.

Имеются две бухты проволоки, изготовленной из одного и того же металла. Масса первой

бухты равна m, второй — 2m. Диаметр проволоки из первой бухты равен d, второй — 2d. Найти

отношение сопротивлений проволок из первой и второй бухт.

Пусть плотность металла равна c  Тогда масса проволоки может быть выражена как произведение объема проволоки на плотность.

Масса первой и соответственно  второй бухты проволоки:  

 $m_1=cV_1$              $m_2=cV_2$                (1)

Объем проволоки можно выразить, как объем цилиндра, то есть  произведение площади сечения проволоки на  её длину:

$V_1=S_1L_1$               $V_2=S_2L_2$                      (2)

Тогда (1) с учетом (2) может быть записано в виде:

                               $m_1=cS_1L_1$              $m_2=cS_2L_2$                  (3)

Выразим из (3) длину проволоки:

$L_1=\frac{m_1}{cS_1}$                  $L_2=\frac{m_2}{cS_2}$                 (4)

Сопротивление  проволоки выражается формулой:

$R_1=\frac{\rho L_1}{S_1}$             $R_2=\frac{\rho L_2}{S_2}$            (5)   

где $\rho$  - удельное сопротивление материала проволоки

Соотношение сопротивлений проволоки первой и второй бухты

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{\rho L_1}{S_1}}{\frac{\rho L_2}{S_2}}$                  (6)

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{L_1S_2}{L_2S_1}$           (7)

Подставим в (7) соответствующие значения длины из (4).

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{m_1}{cS_1}*S_2}{\frac{m_2}{cS_2}S_1}$            (8)

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{m_1S_2^2}{m_2S_1^2}$         (9)

Площадь сечения проволоки - это площадь круга, которая выражается через диаметр проволоки так:  

$S_1=\frac{\pi d_1^2}{4}$                $S_2=\frac{\pi d_2^2}{4}$                 (10)

Согласно условию, $d_1=d;\;\;d_2=2d$               (11)

Подставляем       (11) в (10) 

$S_1=\frac{\pi d^2}{4}$                    $S_2=\frac{\pi (2d)^2}{4}=\pi d^2$              (12)

Согласно условию $m_1=m$                  $m_2=2m$                    (13)

Подставляем (12) и (13) в (9)

$\frac{R_1}{R_2}=\frac{m*\pi^2*d^4}{\frac{2*m*\pi^2*d^4}{4^2}}=8$