Плоская горизонтальная фигура площадью S=0,1 м^2, ограниченная проводящим контуром, сопротивление которого R=5 Ом, находится в однородном магнитном поле. Какой заряд проходит по контуру за промежуток времени, пока проекция магнитной индукции на вертикаль Z равномерно меняется от В1z = 2 Тл до В2z = -2 Тл?

ЭДС в контуре пропорциональна изменению магнитного потока. 

Для начала воспользуемся Законом Ома:            $i=\frac{E}{R}$             (1)

где i - мгновенное значение тока,  E - мгновенное значение ЭДС, возникающей в контуре за счет электромагнитной индукции, R - сопротивление контура.

Магнитный поток по определению:     

$\Phi=SB\cos\alpha$

B - магнитная индукция,  S - площадь, a - угол между нормалью к плоскости контура и вектором магнитной индукции.  

Закон электромагнитной индукции:  ЭДС пропорциональна скорости изменения магнитного потока, в нашем случае меняется угол вектора магнитной индукции, а значит меняется магнитный поток

$E=\frac{d\Phi}{dt}=\frac{dS B\cos\alpha}{dt}]\frac{Sdb\cos\alpha}{dt}$             (2)

Вообще-то в правой части уравнения (2) должен быть знак "минус", показывающий, что индуцируемая ЭДС направлена так, чтобы магнитное поле от возникающего тока, противодействовало изменению магнитного потока, породившего эту ЭДС.  Но, в конечном итоге, в задаче спрашивают о величине заряда и мы можем этот знак не учитывать. 

Подставив (2) в (1), получаем

$i=\frac{SdB\cos\alpha}{Rdt}$                  (3)

С другой стороны  сила тока есть скорость изменения заряда:

$i=\frac{dQ}{dt}$                 (4)

Приравняем (3) и (4):

$\frac{SdB\cos\alpha}{Rdt}=\frac{dQ}{dt}$              (5)

Из (5) очевидно, что

$dQ=\frac{SdB\cos\alpha}{R}$              (6)

Чтобы найти заряд надо проинтегрировать (6) и ответ готов:

$Q=\int_{B1}^{B2}\frac{SdB\cos\alpha}{R}$           (7)

В нашем случае согласно условию контур расположен горизонтально, значит нормаль к его плоскости совпадает по направлению с осью OZ. И тогда приведенные в условии величины изменения проекции вектора на ось OZ и есть готовые произведения B*cos a.

  

$Q=\frac{0,1*(2-(-2))}{5}=0,08$  Кл