С балкона, высота которого 5 метров над поверхностью Земли, брошен камень под углом 45° к горизонту. Камень упал на землю на расстоянии 48 метров от места, над которым находится балкон. Определить начальную скорость камня, время его полёта, наибольшую высоту подъёма, радиус кривизны траектории в наивысшей точке, скорость камня в момент падения на землю, угол, который образует скорость камня в момент падения на землю с горизонтальным направлением. Сопротивлением воздуха пренебречь.

$x=u_0t\cos\alpha$

$y=u_0t\sin\alpha-\frac{gt^2}{2}$

Здесь:
x, y — координаты тела,
u0 — начальная скорость тела (м/с),
α — угол, под которым брошено тело к горизонту (°),
g — ускорение свободного падения 9.81 (м/c2),
t — время движения (c)

Если из первого уравнения выразить t и подставить его во второе, то получим зависимость y от х:

$t=\frac{x}{u_0\cos\alpha}$                     (0)

$y(x)=x*tg\alpha-\frac{gx^2}{2u_0^2\cos^2\alpha}$                     (1)

Если начало координат совместить с точкой балкона, то в момент падения на землю согласно условию y=-5,  x=48

Подставим эти значения в (1) и выразим начальную скорость:

$-5=48*tg 45^{\circ}-\frac{10*48^2}{2u_0^2\cos^2 45^{\circ}}$                (2)

$-5=48-\frac{10*48^2}{2u_0^2*0,707^2}$               (3)

$u_0=\sqrt{\frac{23040}{53}}\approx 20,8$ м/с              (4)

Время полета из (0):

$t=\frac{x}{u_0\cos\alpha}=\frac{48}{20,8\cos 45^{\circ}}\approx 3,264$ c           (5)

При достижении уровня балкона во время падения камня его вертикальная скорость равна начальной вертикальной скорости:

$u_{y0}=u_0\sin\alpha=20,8*\sin 45^{\circ}\approx 14,7$ м/с               (6)

Тогда время падения с высоты 5 метров до земли можем найти из формулы равноускоренного движения с начальной скоростью:

$h=u_{y0}t_2+\frac{gt_2^2}{2}$                 (7)

$5=14,7t_2+\frac{10t_2^2}{2}$              (8)

$10t_2^2+29,4t_2-10=0$             (9)

Решив квадратное уравнение (9) найдем значение времени падения камня с высоты 5 метров после прохождения им максимальной высоты подъема:

$t_2\approx 0,308\;c$  

Второй корень квадратного уравнения (9) отрицательный, не подходит по условию

Тогда время до  максимального подъема t1 равно половине времени полета t за вычетом  времени падения камня с уровня 5 метров:

$t_1=\frac{t-t_2}{2}=\frac{3,624-0,308}{2}=1,478$    c    

Таким образом, максимальная высота подъема камня над землей будет равна высоте балкона плюс высота подъема после броска:

$H=h_0+u_0t_1\sin\alpha -\frac{gt_1^2}{2}$                 (10)

$H=5+14,7*1,478-\frac{10*(1,478)^2}{2}\approx 15,8$ м              (11)

Радиус кривизны траектории движения связан с нормальным ускорением, которое направлено перпендикулярно вектору скорости. В высшей точке вертикальная скорость равна нулю. Нормальное ускорение равно:

$a_n=\frac{u_x^2}{R}$                       (11)

Но, на камень во время полета не действуют никакие силы, кроме силы тяжести. Это значит, что на камень действует только ускорение земного тяготения. Тогда 

$a_n=\frac{u_x^2}{R}=g$                    (12)  

Из (12) находим радиус кривизны траектории в наивысшей точке:

$R=\frac{u_x^2}{g}=\frac{(u_0\cos 45^{\circ})^2}{g}=\frac{(20,8*0,707)^2}{10}\approx 21,6$ м  (13) 

Вертикальная скорость в момент падения камня:

$u_y=\sqrt{2gH}=\sqrt{2*10*15,8}\approx 17,8$  м           (14)

Угол скорости к горизонтали в момент падения:

$b=arctg \frac{u_y}{u_x}=arctg \frac{17,8}{20,8*0,707}\approx 50^{\circ}$            (15)