Определите напряжённость поля в центре шестиугольника со стороной t, на вершинах которого расположены: a) 6 равных одноимённых заряда. б) три положительных и три отрицательных равных заряда.

Для начала решим задачу, когда имеем 6 равных одноименных зарядов. Чтобы не загромождать рисунок ниже, и обозначим векторы напряженности  цифрами, соответствующими создающим эту напряженность зарядам.

Если это заряды положительные, то направление векторов будет от центра  - наружу, а если отрицательные - то наоборот. Но в конечном итоге результат все равно одинаков. Каждому вектору находится соответствующий вектор равной величины и противоположного направления. Равнодействующая равна нулю. Напряженность результирующая равна нулю.


А вот с вариантом 3 положительных и 3 отрицательных будет поинтересней. В задаче не указали, как они расположены.  


Если через один, то есть положительные в 1, 3, 5, а отрицательные - в оставшихся, то результирующая напряженность равна, очевидно,  нулю в силу симметрии:         три вектора одинакового модуля под 120 градусов друг к другу дадут в итоге 0. 



Если 123 - одного знака, а 456 - другого:

Имеем равносторонние треугольники, расстояние от вершины до центра равно длине ребра шестиугольника, то есть равно t,  углы 60 градусов, тогда если обозначить напряженность от одного заряда Е, результирующая напряженность Ер:

$E_p=2E+4E\cos 60^{\circ}=4E=\frac{4q}{4\pi\varepsilon_0t^2}=4E=\frac{q}{\pi\varepsilon_0t^2}$

 И третий из возможных вариантов расположения: 

Синими цифрами и стрелками - отрицательные, красными - положительные заряды.  Тогда результирующая напряженность равна сумме векторов 2 и 5, т.е.

\[E_p=\frac{2q}{4\pi \varepsilon _0t^2}=\frac{q}{2\pi \varepsilon_0t^2}\]