Математический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 6 см. Какую часть периода шарик маятника находится не далее 3 см от положения равновесия?

          

          Смещение маятника от положения равновесия в любой  момент времени t описывается уравнением гармонических колебаний:

$x(t)=A\sin(wt+\phi_0)$        (1)

где x(t), A, w, t, фо  - соответственно значение смещения маятника в момент времени t, амплитуда колебаний, круговая частота колебаний, время, начальная фаза колебаний (если бы колебания начинались не из положения равновесия).

Угловая частота         $w=\frac{2\pi}{T}$          (2)

где Т - период колебаний

По условию задачи   $\phi_0=0$               (3)

Обозначим время, в течение которого отклонение маятника (шарика) не превышает 3 см буквой t1.    

Для наглядности покажем рисунок:

С учетом (3) и условия задачи выражение (1) для момента когда отклонение от равновесия нарастает и достигает 3 см можем записать в виде:

$x(t=t_1)=6\sin(\frac{2\pi t_1}{T})$

$3=6\sin(\frac{2\pi t_1}{T})$               (4)

Откуда выразим t1:

 $\sin(\frac{2\pi t_1}{T})=0,5$               (5)

$\frac{2\pi t_1}{T}=\frac{\pi}{6}$                  (6)

$t_1=\frac{T}{12}$                (7)

Как видно из рисунка, таких кусочков периода  (от нуля до t1), в течение которых отклонение шарика не превышает 3 см за весь период колебания будет четыре. Тогда время, в течение которого отклонение не превышает 3 см находится умножением t1 на 4:

$t_2=\frac{T}{12}*4=\frac{T}{3}$               (8)

    Вот и получили ответ на задачу: Отклонение шарика от равновесия не превышает 3 см в течение трети периода колебаний.